Laplace'i teisendus teisendab aja domeeni funktsiooni s-domeeni funktsiooniks integreerimise teel nullist lõpmatuseni
aja domeeni funktsioonist, korrutatuna e -st .
Laplace'i teisendust kasutatakse diferentsiaalvõrrandite ja integraalide kiireks lahenduste leidmiseks.
Ajapiirkonna tuletamine teisendatakse s-ga korrutamiseks s-domeenis.
Integratsioon ajapiirkonnas teisendatakse s-ga jagamiseks s-domeenis.
Laplace'i teisendus defineeritakse operaatoriga L {}:
Laplace'i pöördteisendust saab arvutada otse.
Tavaliselt antakse pöördteisendus teisenduste tabelist.
Funktsiooni nimi | Aja domeeni funktsioon | Laplace'i teisendus |
---|---|---|
f (t) |
F(s) = L{f (t)} |
|
Püsiv | 1 | |
Lineaarne | t | |
Võimsus | t n |
|
Võimsus | t a |
Γ(a+1) ⋅ s -(a+1) |
Eksponent | e at |
|
Sine | sin at |
|
Koosinus | cos at |
|
Hüperboolne siinus |
sinh at |
|
Hüperboolne koosinus |
cosh at |
|
Kasvav siinus |
t sin at |
|
Kasvav koosinus |
t cos at |
|
Lagunev siinus |
e -at sin ωt |
|
Lagunev koosinus |
e -at cos ωt |
|
Delta funktsioon |
δ(t) |
1 |
Hilinenud delta |
δ(t-a) |
e-as |
Kinnistu nimi | Aja domeeni funktsioon | Laplace'i teisendus | Kommenteeri |
---|---|---|---|
f (t) |
F(s) |
||
Lineaarsus | af ( t ) + bg ( t ) | aF ( s ) + bG ( s ) | a , b on konstantsed |
Skaala muutus | f ( at ) | a >0 | |
Shift | e -at f ( t ) | F ( s + a ) | |
Viivitus | f ( ta ) | e - kui F ( s ) | |
Tuletamine | sF ( s ) - f (0) | ||
N-s tuletis | s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0) -...- f ( n -1) (0) | ||
Võimsus | t n f ( t ) | ||
Integratsioon | |||
Vastastikune | |||
Konvolutsioon | f ( t ) * g ( t ) | F ( s ) ⋅ G ( s ) | * on konvolutsioonioperaator |
Perioodiline funktsioon | f ( t ) = f ( t + T ) |
Leidke f(t) teisendus:
f (t) = 3t + 2t2
Lahendus:
ℒ{t} = 1/s2
ℒ{t2} = 2/s3
F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t2} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t2} = 3/s2 + 4/s3
Leidke F(s) pöördteisendus:
F(s) = 3 / (s2 + s - 6)
Lahendus:
Pöördteisenduse leidmiseks peame domeeni funktsiooni s muutma lihtsamaks:
F(s) = 3 / (s2 + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)
[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]
a(s+3) + b(s-2) = 3
A ja b leidmiseks saame 2 võrrandit - ühe s koefitsiendist ja teise ülejäänud:
(a+b)s + 3a-2b = 3
a+b = 0 , 3a-2b = 3
a = 3/5 , b = -3/5
F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)
Nüüd saab F(sid) hõlpsasti teisendada, kasutades astendajafunktsiooni teisendustabelit:
f (t) = (3/5)e2t - (3/5)e-3t
Advertising