Tuletisreeglid

Tuletisreeglid ja seadused. Funktsioonide tabeli tuletised.

Tuletisdefinitsioon

Funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse f(x) erinevuse suhe punktides x+Δx ja x Δx-ga, kui Δx on lõpmatult väike. Tuletis on funktsiooni kalle või puutuja sirge kalle punktis x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Teine tuletis

Teise tuletise annab:

Või lihtsalt tuletage esimene tuletis:

f''(x)=(f'(x))'

N tuletis

N - nda tuletise arvutamiseks tuletatakse f(x) n korda.

N - s tuletis on võrdne (n-1) tuletise tuletisega:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Näide:

Leia neljas tuletis

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]'''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Tuletis funktsiooni graafikul

Funktsiooni tuletis on tangentsiaaljoone kalle.

Tuletisreeglid

Tuletissumma reegel

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Tuletistoote reegel

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Tuletisjagatise reegel \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Tuletisahela reegel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Tuletissumma reegel

Kui a ja b on konstandid.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Näide:

Leidke tuletis:

3 x 2 + 4 x.

Vastavalt summa reeglile:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Tuletistoote reegel

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Tuletisjagatise reegel

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Tuletisahela reegel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Seda reeglit saab paremini mõista Lagrange'i tähistusega:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funktsiooni lineaarne lähendamine

Väikese Δx korral saame f(x 0 +Δx) lähenduse, kui teame f(x 0 ) ja f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Funktsioonide tabeli tuletised

Funktsiooni nimi Funktsioon Tuletis

f (x)

 f '( x )
Püsiv

const

0
Lineaarne

x

1
Võimsus

x a

a x a-1
Eksponentsiaalne

e x

e x
Eksponentsiaalne

a x

a x ln a
Naturaalne logaritm

ln(x)

Logaritm

logb(x)

Sine

sin x

cos x
Koosinus

cos x

-sin x
Tangent

tan x

Arcsine

arcsin x

Arkosiin

arccos x

Arktangent

arctan x
Hüperboolne siinus

sinh x

cosh x
Hüperboolne koosinus

cosh x

sinh x
Hüperboolne puutuja

tanh x

Hüperboolne pöördsiinus

sinh-1 x

Hüperboolne pöördkoosinus

cosh-1 x

Hüperboolne pöördtangent

tanh-1 x

Tuletisnäited

Näide nr 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Näide nr 2

f (x) = sin(3x2)

Ahelreegli rakendamisel:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Teine tuletistest

Kui funktsiooni esimene tuletis on punktis x 0 null .

f '(x0) = 0

Siis võib teine ​​tuletis punktis x 0 , f''(x 0 ), näidata selle punkti tüüpi:

 

f ''(x0) > 0

 kohalik miinimum

f ''(x0) < 0

 kohalik maksimum

f ''(x0) = 0

 määramata

 

Vaata ka

Advertising

KALKUUS
°• CmtoInchesConvert.com •°