Transformada de Laplace

Función de transformada de Laplace
Tabla de transformadas de Laplace
Propiedades de la transformada de Laplace
Ejemplos de transformada de Laplace

La transformada de Laplace convierte una función de dominio de tiempo en una función de dominio s mediante la integración de cero a infinito

de la función en el dominio del tiempo, multiplicada por e ^-st .

La transformada de Laplace se utiliza para encontrar rápidamente soluciones para ecuaciones diferenciales e integrales.

La derivación en el dominio del tiempo se transforma en multiplicación por s en el dominio s.

La integración en el dominio del tiempo se transforma en división por s en el dominio s.

Función de transformada de Laplace

La transformada de Laplace se define con el operador L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Transformada inversa de Laplace

La transformada inversa de Laplace se puede calcular directamente.

Por lo general, la transformada inversa se obtiene de la tabla de transformadas.

Tabla de transformadas de Laplace

Nombre de la función	función de dominio de tiempo	Transformada de Laplace
Nombre de la función	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Constante	1	$\frac{1}{s}$
Lineal	t	$\frac{1}{s^2}$
Poder	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Poder	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponente	e^at	$\frac{1}{sa}$
Seno	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Coseno	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
seno hiperbólico	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
coseno hiperbólico	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
seno creciente	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
coseno creciente	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
seno en descomposición	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Coseno en descomposición	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
función delta	δ(t)	1
Delta retrasado	δ(t-a)	e^-as

Propiedades de la transformada de Laplace

Nombre de la propiedad	función de dominio de tiempo	Transformada de Laplace	Comentario
	f (t)	F(s)
linealidad	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b son constantes
Cambio de escala	f ( en )	$\frac{1}{a}F\izquierda ( \frac{s}{a} \derecha )$	un >0
Turno	e ^-en f ( t )	F ( s + a )
Demora	f ( ta )	e ^{- como} F ( s )
Derivación	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-ésima derivación	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Poder	^tnf ( t ) _ _	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integración	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Recíproco	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty}F(x)dx$
Circunvolución	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ GRAMO ( s )	* es el operador de convolución
Función periódica	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Ejemplos de transformada de Laplace

Ejemplo 1

Encuentre la transformada de f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Solución:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Ejemplo #2

Encuentre la transformada inversa de F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Solución:

Para encontrar la transformada inversa, necesitamos cambiar la función de dominio s a una forma más simple:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Para encontrar a y b, obtenemos 2 ecuaciones, una de los coeficientes s y la segunda del resto:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Ahora F(s) se puede transformar fácilmente usando la tabla de transformaciones para la función de exponente:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t