Circunvolución

La convolución es la función de correlación de f(τ) con la función inversa g(t-τ).

El operador de convolución es el símbolo de asterisco * .

La convolución de f(t) y g(t) es igual a la integral de f(τ) por f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau$

La convolución de 2 funciones discretas se define como:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(k)\: g(nk)$

La convolución discreta bidimensional se usa generalmente para el procesamiento de imágenes.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(j,k)\: g(nj,mk)$

Podemos filtrar la señal de entrada discreta x(n) por convolución con la respuesta de impulso h(n) para obtener la señal de salida y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

La transformada de Fourier de una multiplicación de 2 funciones es igual a la convolución de las transformadas de Fourier de cada función:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

La transformada de Fourier de una convolución de 2 funciones es igual a la multiplicación de las transformadas de Fourier de cada función:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Ver también