Reglas derivadas

Reglas y leyes derivadas. Tabla de derivadas de funciones.

• Definición de derivada
• Reglas derivadas
• Tabla de derivadas de funciones
• Ejemplos de derivados

Definición de derivada

La derivada de una función es el cociente de la diferencia del valor de la función f(x) en los puntos x+Δx yx con Δx, cuando Δx es infinitesimalmente pequeño. La derivada es la función pendiente o pendiente de la recta tangente en el punto x.

 

Segunda derivada

La segunda derivada viene dada por:

O simplemente derivar la primera derivada:

N-ésima derivada

La n -ésima derivada se calcula derivando f(x) n veces.

La n -ésima derivada es igual a la derivada de la derivada (n-1):

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

Ejemplo:

Encuentre la cuarta derivada de

f ( x ) = 2 x ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ]'''' = [10 x ⁴ ]''' = [40 x ³ ]'' = [120 x ² ]' = 240 x

Derivada en gráfica de función

La derivada de una función es la pendiente de la recta tangencial.

Reglas derivadas

Regla de la suma de derivadas	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
regla del producto derivado	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Regla del cociente de la derivada
regla de la cadena derivada	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Regla de la suma de derivadas

Cuando a y b son constantes.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Ejemplo:

Encuentra la derivada de:

3x2 + 4x . ^_

Según la regla de la suma:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x ² , gramo ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

( 3x2 ⁺ 4x )' = 3⋅2x + 4⋅1 = 6x + 4

regla del producto derivado

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Regla del cociente de la derivada

regla de la cadena derivada

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Esta regla se puede entender mejor con la notación de Lagrange:

Función de aproximación lineal

Para Δx pequeños, podemos obtener una aproximación a f(x ₀ +Δx), cuando conocemos f(x ₀ ) y f ' (x ₀ ):

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

Tabla de derivadas de funciones

Nombre de la función	Función	Derivado
	f (x)	f '( x )
Constante	const	0
Lineal	x	1
Poder	x a	a x a-1
Exponencial	e x	e x
Exponencial	a x	a x ln a
Logaritmo natural	ln(x)
Logaritmo	logb(x)
Seno	sin x	cos x
Coseno	cos x	-sin x
Tangente	tan x
arcoseno	arcsin x
arcocoseno	arccos x
arcotangente	arctan x
seno hiperbólico	sinh x	cosh x
coseno hiperbólico	cosh x	sinh x
tangente hiperbólica	tanh x
Seno hiperbólico inverso	sinh-1 x
Coseno hiperbólico inverso	cosh-1 x
tangente hiperbólica inversa	tanh-1 x

Ejemplos de derivados

Ejemplo 1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

Ejemplo #2

f (x) = sin(3x²)

Al aplicar la regla de la cadena:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

Prueba de la segunda derivada

Cuando la primera derivada de una función es cero en el punto x ₀ .

f '(x₀) = 0

Entonces la segunda derivada en el punto x ₀ , f''(x ₀ ), puede indicar el tipo de ese punto:

 

f ''(x0) > 0	mínimo local
f ''(x0) < 0	máximo local
f ''(x0) = 0	indeterminado

 

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Ver también

• Cálculo
• Transformada de Laplace ( ℒ  )
• Símbolos de cálculo