Μεταμόρφωση Laplace

Συνάρτηση μετασχηματισμού Laplace
Πίνακας μετασχηματισμού Laplace
Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace
Παραδείγματα μετασχηματισμού Laplace

Ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει μια συνάρτηση πεδίου χρόνου σε συνάρτηση τομέα s με ολοκλήρωση από το μηδέν στο άπειρο

της συνάρτησης πεδίου χρόνου, πολλαπλασιαζόμενη με e ^-st .

Ο μετασχηματισμός Laplace χρησιμοποιείται για την ταχεία εύρεση λύσεων για διαφορικές εξισώσεις και ολοκληρώματα.

Η παραγωγή στο πεδίο του χρόνου μετατρέπεται σε πολλαπλασιασμό με το s στον τομέα s.

Η ολοκλήρωση στο πεδίο χρόνου μετατρέπεται σε διαίρεση με το s στον τομέα s.

Συνάρτηση μετασχηματισμού Laplace

Ο μετασχηματισμός Laplace ορίζεται με τον τελεστή L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace μπορεί να υπολογιστεί απευθείας.

Συνήθως ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνεται από τον πίνακα μετασχηματισμών.

Πίνακας μετασχηματισμού Laplace

Όνομα συνάρτησης	Λειτουργία πεδίου χρόνου	Μετασχηματισμός Laplace
Όνομα συνάρτησης	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Συνεχής	1	$\frac{1}{s}$
Γραμμικός	t	$\frac{1}{s^2}$
Εξουσία	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Εξουσία	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Εκθέτης	e^at	$\frac{1}{sa}$
Ημίτονο	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Συνημίτονο	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Υπερβολικό ημίτονο	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Υπερβολικό συνημίτονο	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Αυξανόμενο ημίτονο	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Αυξανόμενο συνημίτονο	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Ημιτονοειδής αποσύνθεση	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Συνημίτονο σε αποσύνθεση	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Λειτουργία Δέλτα	δ(t)	1
Καθυστερημένο δέλτα	δ(t-a)	e^-as

Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace

Ονομα ιδιοκτησίας	Λειτουργία πεδίου χρόνου	Μετασχηματισμός Laplace	Σχόλιο
	f (t)	F(s)
Γραμμικότητα	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	Τα a , b είναι σταθερά
Αλλαγή κλίμακας	f ( στο )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	α > 0
Μετατόπιση	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
Καθυστέρηση	f ( ta )	e ^{- ως} F ( s )
Παραγωγή	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
Ν-η παραγωγή	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Εξουσία	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Ενσωμάτωση	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Αμοιβαίος	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
Περιελιγμός	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* είναι ο τελεστής συνέλιξης
Περιοδική συνάρτηση	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Παραδείγματα μετασχηματισμού Laplace

Παράδειγμα #1

Να βρείτε τον μετασχηματισμό της f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Λύση:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Παράδειγμα #2

Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό των F(s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Λύση:

Για να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, πρέπει να αλλάξουμε τη συνάρτηση τομέα s σε μια απλούστερη μορφή:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Για να βρούμε το a και το b, παίρνουμε 2 εξισώσεις - έναν από τους συντελεστές s και τον δεύτερο από τους υπόλοιπους:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Τώρα τα F(s) μπορούν να μετασχηματιστούν εύκολα χρησιμοποιώντας τον πίνακα μετασχηματισμών για τη συνάρτηση εκθέτη:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t