Κανόνες παραγώγων

Παράγωγοι κανόνες και νόμοι. Πίνακας παραγώγων συναρτήσεων.

Παράγωγος ορισμός

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ο λόγος της διαφοράς της τιμής της συνάρτησης f(x) στα σημεία x+Δx και x με Δx, όταν το Δx είναι απειροελάχιστα μικρό. Η παράγωγος είναι η κλίση ή η κλίση της συνάρτησης της εφαπτομένης στο σημείο x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Δεύτερη παράγωγος

Η δεύτερη παράγωγος δίνεται από:

Ή απλώς εξάγετε την πρώτη παράγωγο:

f''(x)=(f'(x))'

Νη παράγωγο

Η ν η παράγωγος υπολογίζεται εξάγοντας f(x) n φορές.

Η ν η παράγωγος είναι ίση με την παράγωγο της παραγώγου (n-1):

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Παράδειγμα:

Βρείτε την τέταρτη παράγωγο του

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Παράγωγος σε γράφημα συνάρτησης

Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι η κλίση της εφαπτομενικής ευθείας.

Κανόνες παραγώγων

Κανόνας παραγώγου αθροίσματος

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Κανόνας παραγώγου προϊόντος

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Κανόνας παράγωγου πηλίκου \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( Χ)}
Κανόνας αλυσίδας παραγώγων

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Κανόνας παραγώγου αθροίσματος

Όταν το a και το b είναι σταθερές.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Παράδειγμα:

Βρείτε την παράγωγο του:

3 x 2 + 4 x.

Σύμφωνα με τον κανόνα του αθροίσματος:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Κανόνας παραγώγου προϊόντος

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Κανόνας παράγωγου πηλίκου

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Κανόνας αλυσίδας παραγώγων

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Αυτός ο κανόνας μπορεί να γίνει καλύτερα κατανοητός με τη σημείωση του Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Γραμμική προσέγγιση συνάρτησης

Για μικρό Δx, μπορούμε να πάρουμε μια προσέγγιση στο f(x 0 +Δx), όταν γνωρίζουμε f(x 0 ) και f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Πίνακας παραγώγων συναρτήσεων

Όνομα συνάρτησης Λειτουργία Παράγωγο

f (x)

 f '( x )
Συνεχής

const

0
Γραμμικός

x

1
Εξουσία

x a

a x a-1
Εκθετικός

e x

e x
Εκθετικός

a x

a x ln a
Φυσικός λογάριθμος

ln(x)

Λογάριθμος

logb(x)

Ημίτονο

sin x

cos x
Συνημίτονο

cos x

-sin x
Εφαπτομένη γραμμή

tan x

Αρξίνη

arcsin x

Αρκοζίνη

arccos x

Arctangent

arctan x
Υπερβολικό ημίτονο

sinh x

cosh x
Υπερβολικό συνημίτονο

cosh x

sinh x
Υπερβολική εφαπτομένη

tanh x

Αντίστροφο υπερβολικό ημίτονο

sinh-1 x

Αντίστροφο υπερβολικό συνημίτονο

cosh-1 x

Αντίστροφη υπερβολική εφαπτομένη

tanh-1 x

Παραδείγματα παραγώγων

Παράδειγμα #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Παράδειγμα #2

f (x) = sin(3x2)

Κατά την εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Δεύτερη δοκιμή παραγώγου

Όταν η πρώτη παράγωγος μιας συνάρτησης είναι μηδέν στο σημείο x 0 .

f '(x0) = 0

Τότε η δεύτερη παράγωγος στο σημείο x 0 , f''(x 0 ), μπορεί να υποδεικνύει τον τύπο αυτού του σημείου:

 

f ''(x0) > 0

 τοπικό ελάχιστο

f ''(x0) < 0

 τοπικό μέγιστο

f ''(x0) = 0

 αναποφάσιστος

 

Δείτε επίσης

Advertising

ΛΟΓΙΣΜΟΣ
°• CmtoInchesConvert.com •°