Laplace-Transformation

Laplace-Transformationsfunktion
Laplace-Transformationstabelle
Eigenschaften der Laplace-Transformation
Beispiele für Laplace-Transformationen

Die Laplace-Transformation konvertiert eine Zeitbereichsfunktion in eine S-Bereichsfunktion durch Integration von null bis unendlich

der Zeitbereichsfunktion, multipliziert mit e ^-st .

Die Laplace-Transformation wird verwendet, um schnell Lösungen für Differentialgleichungen und Integrale zu finden.

Die Ableitung im Zeitbereich wird in die Multiplikation mit s im s-Bereich umgewandelt.

Die Integration im Zeitbereich wird in die Division durch s im s-Bereich umgewandelt.

Laplace-Transformationsfunktion

Die Laplace-Transformation wird mit dem Operator L {} definiert:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

Inverse Laplace-Transformation

Die inverse Laplace-Transformation kann direkt berechnet werden.

Normalerweise wird die inverse Transformation aus der Transformationstabelle angegeben.

Laplace-Transformationstabelle

Funktionsname	Zeitbereichsfunktion	Laplace-Transformation
Funktionsname	f (t)	F(s) = L{f (t)}
Konstante	1	$\frac{1}{s}$
Linear	t	$\frac{1}{s^2}$
Leistung	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
Leistung	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
Exponent	e^at	$\frac{1}{sa}$
Sinus	sin at	$\frac{a}{s^2+a^2}$
Kosinus	cos at	$\frac{s}{s^2+a^2}$
Hyperbolischer Sinus	sinh at	$\frac{a}{s^2-a^2}$
Hyperbolischer Kosinus	cosh at	$\frac{s}{s^2-a^2}$
Wachsender Sinus	t sin at	$\frac{2as}{(s^2+a^2)^2}$
Wachsender Kosinus	t cos at	$\frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
Abklingender Sinus	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Abklingender Kosinus	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
Delta-Funktion	δ(t)	1
Verzögertes Delta	δ(t-a)	e^-as

Eigenschaften der Laplace-Transformation

Name des Anwesens	Zeitbereichsfunktion	Laplace-Transformation	Kommentar
	f (t)	F(s)
Linearität	af ( t )+ bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b sind konstant
Maßstabswechsel	f ( bei )	$\frac{1}{a}F\left ( \frac{s}{a} \right )$	a > 0
Schicht	e ^-bei f ( t )	F ( s + a )
Verzögerung	f ( ta )	e ^{- wie} F ( s )
Ableitung	$\frac{df(t)}{dt}$	sF ( s ) - f (0)
N-te Ableitung	$\frac{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
Leistung	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(s)}{ds^n}$
Integration	$\int_{0}^{t}f(x)dx$	$\frac{1}{s}F(s)$
Gegenseitig	$\frac{1}{t}f(t)$	$\int_{s}^{\infty}F(x)dx$
Faltung	f ( t ) * g ( t )	F ( s ) ⋅ G ( s )	* ist der Faltungsoperator
Periodische Funktion	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

Beispiele für Laplace-Transformationen

Beispiel 1

Finde die Transformation von f(t):

f (t) = 3t + 2t²

Lösung:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

Beispiel #2

Finden Sie die inverse Transformation von F (s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

Lösung:

Um die inverse Transformation zu finden, müssen wir die s-Domänenfunktion in eine einfachere Form ändern:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

Um a und b zu finden, erhalten wir 2 Gleichungen - eine der s-Koeffizienten und die zweite der anderen:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

Jetzt kann F (s) einfach transformiert werden, indem die Transformationstabelle für die Exponentenfunktion verwendet wird:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t