Faltung

Faltung ist die Korrelationsfunktion von f(τ) mit der umgekehrten Funktion g(t-τ).

Der Faltungsoperator ist das Sternsymbol * .

Die Faltung von f(t) und g(t) ist gleich dem Integral von f(τ) mal f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Die Faltung von 2 diskreten Funktionen ist definiert als:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

Für die Bildverarbeitung wird üblicherweise eine zweidimensionale diskrete Faltung verwendet.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g(nj,mk)$

Wir können das diskrete Eingangssignal x(n) durch Faltung mit der Impulsantwort h(n) filtern, um das Ausgangssignal y(n) zu erhalten.

y(n) = x(n) * h(n)

Die Fourier-Transformation einer Multiplikation von 2 Funktionen ist gleich der Faltung der Fourier-Transformationen jeder Funktion:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Die Fourier-Transformation einer Faltung von 2 Funktionen ist gleich der Multiplikation der Fourier-Transformationen jeder Funktion:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Siehe auch