Ableitungsregeln

Abgeleitete Regeln und Gesetze. Tabelle mit Ableitungen von Funktionen.

Ableitungsdefinition

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis der Differenz der Funktionswerte f(x) an den Punkten x+Δx und x mit Δx, wenn Δx infinitesimal klein ist. Die Ableitung ist die Funktion Steigung oder Steigung der Tangente am Punkt x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Zweite Ableitung

Die zweite Ableitung ist gegeben durch:

Oder leiten Sie einfach die erste Ableitung her:

f''(x)=(f'(x))'

N-te Ableitung

Die n -te Ableitung wird durch n-maliges Ableiten von f(x) berechnet.

Die n -te Ableitung ist gleich der Ableitung der (n-1) Ableitung:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Beispiel:

Finde die vierte Ableitung von

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Ableitung auf Funktionsgraphen

Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung der Tangentiallinie.

Ableitungsregeln

Ableitungssummenregel

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Derivatproduktregel

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Ableitungsquotientenregel \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Ableitungskettenregel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Ableitungssummenregel

Wenn a und b Konstanten sind.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Beispiel:

Finden Sie die Ableitung von:

3 x 2 + 4 x.

Nach der Summenregel:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Derivatproduktregel

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Ableitungsquotientenregel

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Ableitungskettenregel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Diese Regel lässt sich besser mit der Notation von Lagrange verstehen:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funktion lineare Annäherung

Für kleine Δx können wir eine Annäherung an f(x 0 + Δx) erhalten, wenn wir f(x 0 ) und f ' (x 0 ) kennen:

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabelle der Ableitungen von Funktionen

Funktionsname Funktion Derivat

f (x)

 f '( x )
Konstante

const

0
Linear

x

1
Leistung

x a

a x a-1
Exponentiell

e x

e x
Exponentiell

a x

a x ln a
Natürlicher Logarithmus

ln(x)

Logarithmus

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Kosinus

cos x

-sin x
Tangente

tan x

Arkussinus

arcsin x

Arkkosinus

arccos x

Arkustangens

arctan x
Hyperbolischer Sinus

sinh x

cosh x
Hyperbolischer Kosinus

cosh x

sinh x
Hyperbolischer Tangens

tanh x

Inverser hyperbolischer Sinus

sinh-1 x

Inverser hyperbolischer Kosinus

cosh-1 x

Inverser hyperbolischer Tangens

tanh-1 x

Abgeleitete Beispiele

Beispiel 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Beispiel #2

f (x) = sin(3x2)

Bei Anwendung der Kettenregel:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Test der zweiten Ableitung

Wenn die erste Ableitung einer Funktion am Punkt x 0 Null ist .

f '(x0) = 0

Dann kann die zweite Ableitung am Punkt x 0 , f''(x 0 ), den Typ dieses Punktes angeben:

 

f ''(x0) > 0

 lokales Minimum

f ''(x0) < 0

 lokales Maximum

f ''(x0) = 0

 unbestimmt

 

Siehe auch

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