Laplace-transformation konverterer en tidsdomænefunktion til s-domænefunktion ved integration fra nul til uendelig
af tidsdomænefunktionen, ganget med e -st .
Laplace-transformationen bruges til hurtigt at finde løsninger til differentialligninger og integraler.
Afledning i tidsdomænet transformeres til multiplikation med s i s-domænet.
Integration i tidsdomænet transformeres til division med s i s-domænet.
Laplace-transformationen er defineret med L {}-operatoren:
Den omvendte Laplace-transformation kan beregnes direkte.
Normalt er den inverse transformation givet fra transformationstabellen.
Funktionsnavn | Tidsdomæne funktion | Laplace transformation |
---|---|---|
f (t) |
F(s) = L{f (t)} |
|
Konstant | 1 | |
Lineær | t | |
Strøm | t n |
|
Strøm | t a |
Γ(a+1) ⋅ s -(a+1) |
Eksponent | e at |
|
Sinus | sin at |
|
Cosinus | cos at |
|
Hyperbolsk sinus |
sinh at |
|
Hyperbolsk cosinus |
cosh at |
|
Voksende sinus |
t sin at |
|
Voksende cosinus |
t cos at |
|
Henfaldende sinus |
e -at sin ωt |
|
Henfaldende cosinus |
e -at cos ωt |
|
Delta funktion |
δ(t) |
1 |
Forsinket delta |
δ(t-a) |
e-as |
Ejendomsnavn | Tidsdomæne funktion | Laplace transformation | Kommentar |
---|---|---|---|
f (t) |
F(s) |
||
Linearitet | af ( t )+ bg ( t ) | aF ( s ) + bG ( s ) | a , b er konstante |
Skalaændring | f ( kl ) | a >0 | |
Flytte | e -at f ( t ) | F ( s + a ) | |
Forsinke | f ( ta ) | e - som F ( s ) | |
Afledning | sF ( s ) - f (0) | ||
N-te afledning | s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0)-...- f ( n -1) (0) | ||
Strøm | t n f ( t ) | ||
Integration | |||
Gensidig | |||
Konvolution | f ( t ) * g ( t ) | F ( s ) ⋅ G ( s ) | * er foldningsoperatoren |
Periodisk funktion | f ( t ) = f ( t + T ) |
Find transformationen af f(t):
f (t) = 3t + 2t2
Løsning:
ℒ{t} = 1/s2
ℒ{t2} = 2/s3
F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t2} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t2} = 3/s2 + 4/s3
Find den inverse transformation af F(s):
F(s) = 3 / (s2 + s - 6)
Løsning:
For at finde den inverse transformation skal vi ændre s-domænefunktionen til en enklere form:
F(s) = 3 / (s2 + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)
[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]
a(s+3) + b(s-2) = 3
For at finde a og b får vi 2 ligninger - en af s-koefficienterne og den anden af resten:
(a+b)s + 3a-2b = 3
a+b = 0 , 3a-2b = 3
a = 3/5 , b = -3/5
F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)
Nu kan F(s) nemt transformeres ved at bruge transformationstabellen til eksponentfunktion:
f (t) = (3/5)e2t - (3/5)e-3t
Advertising