Konvolution

Konvolution er korrelationsfunktionen af f(τ) med den omvendte funktion g(t-τ).

Konvolutionsoperatoren er stjernesymbolet * .

Konvolutionen af f(t) og g(t) er lig med integralet af f(τ) gange f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

Konvolution af 2 diskrete funktioner er defineret som:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

2-dimensionel diskret foldning bruges normalt til billedbehandling.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty}f(j,k)\: g(nj,mk)$

Vi kan filtrere det diskrete indgangssignal x(n) ved foldning med impulssvaret h(n) for at få udgangssignalet y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

Fourier-transformationen af en multiplikation af 2 funktioner er lig med foldningen af Fourier-transformationerne af hver funktion:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

Fourier-transformationen af en foldning af 2 funktioner er lig med multiplikationen af Fourier-transformationerne af hver funktion:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Se også