Afledte regler

Afledte regler og love. Tabel over afledte funktioner.

Afledt definition

Den afledede af en funktion er forholdet mellem forskellen mellem funktionsværdien f(x) i punkterne x+Δx og x med Δx, når Δx er uendeligt lille. Den afledede er funktionen hældning eller hældning af tangentlinjen i punktet x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Anden afledt

Den anden afledede er givet af:

Eller blot udled den første afledte:

f''(x)=(f'(x))'

N. afledte

Den n'te afledede beregnes ved at udlede f(x) n gange.

Den n'te afledte er lig med den afledte af (n-1) afledte:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Eksempel:

Find den fjerde afledede af

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Afledt på grafen af ​​funktion

Den afledede af en funktion er hældningen af ​​tangentiallinjen.

Afledte regler

Afledt sumregel

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Regel for afledt produkt

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Afledte kvotientregel \venstre ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Afledt kæderegel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Afledt sumregel

Når a og b er konstanter.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Eksempel:

Find den afledede af:

3 x 2 + 4 x.

Ifølge sumreglen:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Regel for afledt produkt

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Afledte kvotientregel

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Afledt kæderegel

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Denne regel kan bedre forstås med Lagranges notation:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funktion lineær tilnærmelse

For lille Δx kan vi få en tilnærmelse til f(x 0 +Δx), når vi kender f(x 0 ) og f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabel over afledte funktioner

Funktionsnavn Fungere Afledte

f (x)

 f '( x )
Konstant

const

0
Lineær

x

1
Strøm

x a

a x a-1
Eksponentiel

e x

e x
Eksponentiel

a x

a x ln a
Naturlig logaritme

ln(x)

Logaritme

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Cosinus

cos x

-sin x
Tangent

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arctangens

arctan x
Hyperbolsk sinus

sinh x

cosh x
Hyperbolsk cosinus

cosh x

sinh x
Hyperbolsk tangent

tanh x

Omvendt hyperbolsk sinus

sinh-1 x

Invers hyperbolsk cosinus

cosh-1 x

Invers hyperbolsk tangent

tanh-1 x

Afledte eksempler

Eksempel #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Eksempel #2

f (x) = sin(3x2)

Ved anvendelse af kædereglen:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Anden afledt test

Når den første afledede af en funktion er nul i punktet x 0 .

f '(x0) = 0

Så kan den anden afledede ved punkt x 0 , f''(x 0 ), angive typen af ​​dette punkt:

 

f ''(x0) > 0

 lokalt minimum

f ''(x0) < 0

 lokalt maksimum

f ''(x0) = 0

 ubestemt

 

Se også

Advertising

BEREGNING
°• CmtoInchesConvert.com •°