La transformada de Laplace converteix una funció de domini temporal en una funció de domini s mitjançant la integració de zero a infinit
de la funció del domini del temps, multiplicada per e -st .
La transformada de Laplace s'utilitza per trobar ràpidament solucions d'equacions diferencials i integrals.
La derivació en el domini del temps es transforma en multiplicació per s en el domini s.
La integració en el domini del temps es transforma en divisió per s en el domini s.
La transformada de Laplace es defineix amb l' operador L {}:
La transformada de Laplace inversa es pot calcular directament.
Normalment, la transformació inversa es dóna a partir de la taula de transformacions.
Nom de la funció | Funció del domini temporal | Transformada de Laplace |
---|---|---|
f (t) |
F(s) = L{f (t)} |
|
Constant | 1 | |
Lineal | t | |
Poder | t n |
|
Poder | t a |
Γ(a+1) ⋅ s -(a+1) |
Exponent | e at |
|
Sine | sin at |
|
Cosinus | cos at |
|
Sinus hiperbòlic |
sinh at |
|
Cosinus hiperbòlic |
cosh at |
|
Sinus creixent |
t sin at |
|
Cosinus creixent |
t cos at |
|
Sinus en decadència |
e -at sin ωt |
|
Cosinus en decadència |
e -at cos ωt |
|
Funció delta |
δ(t) |
1 |
Delta retardat |
δ(t-a) |
e-as |
Nom de la propietat | Funció del domini temporal | Transformada de Laplace | Comenta |
---|---|---|---|
f (t) |
F(s) |
||
Linealitat | af ( t )+ bg ( t ) | aF ( s ) + bG ( s ) | a , b són constants |
Canvi d'escala | f ( a les ) | a >0 | |
Canvi | e -a f ( t ) | F ( s + a ) | |
Retard | f ( ta ) | e - com a F ( s ) | |
Derivació | sF ( s ) - f (0) | ||
Derivació N-èsima | s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0)-...- f ( n -1) (0) | ||
Poder | t n f ( t ) | ||
Integració | |||
Recíproc | |||
Convolució | f ( t ) * g ( t ) | F ( s ) ⋅ G ( s ) | * és l'operador de convolució |
Funció periòdica | f ( t ) = f ( t + T ) |
Trobeu la transformada de f(t):
f (t) = 3t + 2t2
Solució:
ℒ{t} = 1/s2
ℒ{t2} = 2/s3
F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t2} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t2} = 3/s2 + 4/s3
Trobeu la transformada inversa de F(s):
F(s) = 3 / (s2 + s - 6)
Solució:
Per trobar la transformada inversa, hem de canviar la funció de domini s a una forma més senzilla:
F(s) = 3 / (s2 + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)
[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]
a(s+3) + b(s-2) = 3
Per trobar a i b, obtenim 2 equacions: un dels coeficients s i el segon de la resta:
(a+b)s + 3a-2b = 3
a+b = 0 , 3a-2b = 3
a = 3/5 , b = -3/5
F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)
Ara F(s) es pot transformar fàcilment utilitzant la taula de transformacions per a la funció exponent:
f (t) = (3/5)e2t - (3/5)e-3t
Advertising