Regles derivades

Regles i lleis derivades. Taula de derivades de funcions.

Definició derivada

La derivada d'una funció és la relació de la diferència del valor de la funció f(x) als punts x+Δx i x amb Δx, quan Δx és infinitesimament petit. La derivada és la funció de pendent o pendent de la recta tangent en el punt x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Segona derivada

La segona derivada ve donada per:

O simplement deriva la primera derivada:

f''(x)=(f'(x))'

Derivada enèsima

La derivada n -èsima es calcula derivant f(x) n vegades.

La derivada n -èsima és igual a la derivada de la derivada (n-1):

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Exemple:

Troba la quarta derivada de

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Derivada a la gràfica de la funció

La derivada d'una funció és el pendent de la recta tangencial.

Regles derivades

Regla de suma derivada

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Regla del producte derivat

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Regla del quocient derivat \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Regla de la cadena derivada

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Regla de suma derivada

Quan a i b són constants.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Exemple:

Troba la derivada de:

3 x 2 + 4 x.

Segons la regla de la suma:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Regla del producte derivat

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Regla del quocient derivat

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Regla de la cadena derivada

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Aquesta regla es pot entendre millor amb la notació de Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Funció aproximació lineal

Per a Δx petit, podem obtenir una aproximació a f(x 0 +Δx), quan sabem f(x 0 ) i f '(x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Taula de derivades de funcions

Nom de la funció Funció Derivada

f (x)

 f '( x )
Constant

const

0
Lineal

x

1
Poder

x a

a x a-1
Exponencial

e x

e x
Exponencial

a x

a x ln a
Logaritme natural

ln(x)

Logaritme

logb(x)

Sine

sin x

cos x
Cosinus

cos x

-sin x
Tangent

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosina

arccos x

Arctangent

arctan x
Sinus hiperbòlic

sinh x

cosh x
Cosinus hiperbòlic

cosh x

sinh x
Tangent hiperbòlica

tanh x

Sinus hiperbòlic invers

sinh-1 x

Cosinus hiperbòlic invers

cosh-1 x

Tangent hiperbòlica inversa

tanh-1 x

Exemples derivats

Exemple #1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Exemple #2

f (x) = sin(3x2)

Quan s'aplica la regla de la cadena:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Prova de segona derivada

Quan la primera derivada d'una funció és zero en el punt x 0 .

f '(x0) = 0

Aleshores, la segona derivada en el punt x 0 , f''(x 0 ), pot indicar el tipus d'aquest punt:

 

f ''(x0) > 0

 mínim local

f ''(x0) < 0

 màxim local

f ''(x0) = 0

 indeterminat

 

Vegeu també

Advertising

CÀLCUL
°• CmtoInchesConvert.com •°