Convolució

La convolució és la funció de correlació de f(τ) amb la funció invertida g(t-τ).

L'operador de convolució és el símbol d'asterisc * .

La convolució de f(t) i g(t) és igual a la integral de f(τ) per f(t-τ):

$f(t)*g(t)=\int_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$

La convolució de 2 funcions discretes es defineix com:

$f(n)*g(n)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(k)\: g(nk)$

La convolució discreta bidimensional s'utilitza normalment per al processament d'imatges.

$f(n,m)*g(n,m)=\sum_{j=-\infty }^{\infty }\sum_{k=-\infty }^{\infty }f(j,k)\: g (nj, mk)$

Podem filtrar el senyal d'entrada discret x(n) per convolució amb la resposta d'impuls h(n) per obtenir el senyal de sortida y(n).

y(n) = x(n) * h(n)

La transformada de Fourier d'una multiplicació de 2 funcions és igual a la convolució de les transformades de Fourier de cada funció:

ℱ{f ⋅ g} = ℱ{f } * ℱ{g}

La transformada de Fourier d'una convolució de 2 funcions és igual a la multiplicació de les transformades de Fourier de cada funció:

ℱ{f * g} = ℱ{f } ⋅ ℱ{g}

ℱ{f (t) ⋅ g(t)} = ℱ{f (t)} * ℱ{g(t)} = F(ω) * G(ω)

ℱ{f (t) * g(t)} = ℱ{f (t)} ⋅ ℱ{g(t)} = F(ω) ⋅ G(ω)

ℱ{f (n) ⋅ g(n)} = ℱ{f (n)} * ℱ{g(n)} = F(k) * G(k)

ℱ{f (n) * g(n)} = ℱ{f (n)} ⋅ ℱ{g(n)} = F(k) ⋅ G(k)

ℒ{f (t) * g(t)} = ℒ{f (t)} ⋅ ℒ{g(t)} = F(s) ⋅ G(s)

Vegeu també