অখণ্ড

ইন্টিগ্রেশন হল ডেরিভেশনের বিপরীত অপারেশন।

একটি ফাংশনের ইন্টিগ্রাল হল ফাংশনের গ্রাফের অধীনে থাকা ক্ষেত্র।

অনির্দিষ্ট অখণ্ড সংজ্ঞা

কখন dF(x)/dx = f(x) => integral(f(x)*dx) = F(x) + c

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য

integral(f(x)+g(x)*dx = integral(f(x)*dx) + integral(g(x)*dx

অখণ্ড(a*f(x)*dx) = a*integral(f(x)*dx)

ইন্টিগ্রাল(f(a*x)*dx) = 1/a * F(a*x)+c

integral(f(x+b)*dx) = F(x+b)+c

ইন্টিগ্রাল(f(a*x+b)*dx) = 1/a * F(a*x+b) + c

ইন্টিগ্রাল(df(x)/dx * dx) = f(x)

ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবলের পরিবর্তন

কখন  এবংx = g(t)dx = g'(t)*dt

integral(f(x)*dx) = integral(f(g(t))*g'(t)*dt)

অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন

integral(f(x)*g'(x)*dx) = f(x)*g(x) - integral(f'(x)*g(x)*dx

ইন্টিগ্রেল টেবিল

integral(f(x)*dx = F(x) + c

integral(a*dx) = a*x+c

integral(x^n*dx) = 1/(a+1) * x^(a+1) + c , যখন a<>-1

integral(1/x*dx) = ln(abs(x)) + c

integral(e^x*dx) = e^x + c

ইন্টিগ্রাল(a^x*dx) = a^x / ln(x) + c

integral(ln(x)*dx) = x*ln(x) - x + c

integral(sin(x)*dx) = -cos(x) + c

integral(cos(x)*dx) = sin(x) + c

integral(tan(x)*dx) = -ln(abs(cos(x))) + c

integral(arcsin(x)*dx) = x*arcsin(x) + sqrt(1-x^2) + c

integral(arccos(x)*dx) = x*arccos(x) - sqrt(1-x^2) + c

integral(arctan(x)*dx) = x*arctan(x) - 1/2*ln(1+x^2) + c

integral(dx/(ax+b)) = 1/a*ln(abs(a*x+b)) + c

integral(1/sqrt(a^2-x^2)*dx) = arcsin(x/a) + c

ইন্টিগ্রাল(1/sqrt(x^2 +- a^2)*dx) = ln(abs(x + sqrt(x^2 +- a^2)) + c

integral(x*sqrt(x^2-a^2)*dx) = 1/(a*arccos(x/a)) + c

ইন্টিগ্রাল(1/(a^2+x^2)*dx) = 1/a*আর্কটান(x/a) + c

integral(1/(a^2-x^2)*dx) = 1/2a*ln(abs(((a+x)/(ax))) + c

integral(sinh(x)*dx) = cosh(x) + c

integral(cosh(x)*dx) = sinh(x) + c

integral(tanh(x)*dx) = ln(cosh(x)) + c

 

নির্দিষ্ট অখণ্ড সংজ্ঞা

integral(a..b, f(x)*dx) = lim(n->inf, sum(i=1..n, f(z(i))*dx(i)))  

কখনx0=a, xn=b

dx(k) = x(k) - x(k-1)

x(k-1) <= z(k) <=x(k)

নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলেশন

যখন  ,

 dF(x)/dx = f(x)  এবং

integral(a..b, f(x)*dx) = F(b) - F(a)  

নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল প্রপার্টি

integral(a..b, (f(x)+g(x))*dx) = integral(a..b, f(x)*dx) + integral(a..b, g(x)*dx )

integral(a..b, c*f(x)*dx) = c*integral(a..b, f(x)*dx)

integral(a..b, f(x)*dx) = - integral(b..a, f(x)*dx)

integral(a..b, f(x)*dx) = integral(a..c, f(x)*dx) + integral(c..b, f(x)*dx)

abs( integral(a..b, f(x)*dx) ) <= integral(a..b, abs(f(x))*dx)

min(f(x))*(ba) <= integral(a..b, f(x)*dx) <= max(f(x))*(ba) কখন[a,b] এর x সদস্য

ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবলের পরিবর্তন

কখন  ,,,,  _  _x = g(t)dx = g'(t)*dtg(alpha) = ag(beta) = b

integral(a..b, f(x)*dx) = integral(alpha..beta, f(g(t))*g'(t)*dt)

অংশ দ্বারা ইন্টিগ্রেশন

integral(a..b, f(x)*g'(x)*dx) = integral(a..b, f(x)*g(x)*dx) - integral(a..b, f' (x)*g(x)*dx)

গড় মান উপপাদ্য

যখন f ( x ) একটানা থাকে তখন একটি বিন্দু থাকে  তাই গ [a,b] এর সদস্য

integral(a..b, f(x)*dx) = f(c)*(ba)   

ডেফিনিট ইন্টিগ্রালের ট্র্যাপিজয়েডাল অ্যাপ্রোক্সিমেশন

integral(a..b, f(x)*dx) ~ (ba)/n * (f(x(0))/2 + f(x(1)) + f(x(2)) +.. .+ f(x(n-1)) + f(x(n))/2)

গামা ফাংশন

গামা(x) = অখণ্ড(0..inf, t^(x-1)*e^(-t)*dt

গামা ফাংশন x> 0 এর জন্য অভিসারী ।

গামা ফাংশন বৈশিষ্ট্য

G(x+1) = xG(x)

G(n+1) = n! , when nis member ofℕ (positive integer).

বিটা ফাংশন

B(x,y) = integral(0..1, t^(n-1)*(1-t)^(y-1)*dt

বিটা ফাংশন এবং গামা ফাংশন সম্পর্ক

B(x,y) = গামা(x)*গামা(y)/গামা(x+y)

 

Advertising

 

 

ক্যালকুলাস
°• CmtoInchesConvert.com •°