ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ফাংশন
ল্যাপ্লেস রূপান্তর টেবিল
ল্যাপ্লেস রূপান্তর বৈশিষ্ট্য
ল্যাপ্লেস রূপান্তর উদাহরণ

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম একটি টাইম ডোমেন ফাংশনকে s-ডোমেন ফাংশনে রূপান্তর করে শূন্য থেকে অনন্তে একীকরণ করে

সময়ের ডোমেন ফাংশন, e -st দ্বারা ^{গুণিত} ।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং অখণ্ডের জন্য দ্রুত সমাধান খুঁজে পেতে ব্যবহৃত হয়।

টাইম ডোমেনে ডেরিভেশন s-ডোমেনে s দ্বারা গুণে রূপান্তরিত হয়।

টাইম ডোমেনে ইন্টিগ্রেশন s-ডোমেনে s দ্বারা বিভাজনে রূপান্তরিত হয়।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ফাংশন

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম L {} অপারেটর দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে :

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

ইনভার্স ল্যাপ্লেস রূপান্তর

বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর সরাসরি গণনা করা যেতে পারে।

সাধারণত ট্রান্সফর্ম টেবিল থেকে বিপরীত রূপান্তর দেওয়া হয়।

ল্যাপ্লেস রূপান্তর টেবিল

ফাংশনের নাম	সময় ডোমেইন ফাংশন	ল্যাপ্লেস রূপান্তর
ফাংশনের নাম	f (t)	F(s) = L{f (t)}
ধ্রুবক	1
রৈখিক	t	$ফ্র্যাক{1}{s^2}$
শক্তি	tⁿ	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
শক্তি	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
সূচক	e^at
সাইন	sin at	$ফ্র্যাক{a}{s^2+a^2}$
কোসাইন	cos at	$ফ্র্যাক{s}{s^2+a^2}$
হাইপারবোলিক সাইন	sinh at	$ফ্র্যাক{a}{s^2-a^2}$
হাইপারবোলিক কোসাইন	cosh at	$ফ্র্যাক{s}{s^2-a^2}$
ক্রমবর্ধমান সাইন	t sin at	$ফ্র্যাক{2as}{(s^2+a^2)^2}$
ক্রমবর্ধমান কোসাইন	t cos at	$frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2}$
ক্ষয়প্রাপ্ত সাইন	e^-atsin ωt	$\frac{\omega }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
ক্ষয়প্রাপ্ত কোসাইন	e^-atcos ωt	$\frac{s+a }{\left ( s+a \right )^2+\omega ^2}$
ডেল্টা ফাংশন	δ(t)	1
বিলম্বিত ব-দ্বীপ	δ(t-a)	e^-as

ল্যাপ্লেস রূপান্তর বৈশিষ্ট্য

সম্পত্তির নাম	সময় ডোমেইন ফাংশন	ল্যাপ্লেস রূপান্তর	মন্তব্য করুন
	f (t)	F(s)
রৈখিকতা	af ( t ) + bg ( t )	aF ( s ) + bG ( s )	a , b ধ্রুবক
স্কেল পরিবর্তন	চ ( এ )	$\frac{1}{a}F\বাম (\frac{s}{a} \right )$	a >0
শিফট	e ^-এ f ( t )	F ( s + a )
বিলম্ব	চ ( তা )	e ^-F ( গুলি ) ^{হিসাবে}
ডেরিভেশন	$frac{df(t)}{dt}$	sF ( গুলি ) - f (0)
এন-ম ডেরিভেশন	$ফ্র্যাক{d^nf(t)}{dt^n}$	s ⁿ f ( s ) - s ^{n -1}f (0) - s ^{n -2}f '(0)-...- f ^{( n -1)} (0)
শক্তি	t ⁿ f ( t )	$(-1)^n\frac{d^nF(গুলি)}{ds^n}$
মিশ্রণ	$\int_{0}^{t}f(x)dx$
পারস্পরিক		$\int_{s}^{\infty }F(x)dx$
আবর্তন	f ( t ) * g ( t )	F ( গুলি ) ⋅ G ( গুলি )	* কনভোলিউশন অপারেটর
পর্যায়ক্রমিক ফাংশন	f ( t ) = f ( t + T )	$\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-sx}f(x)dx$

ল্যাপ্লেস রূপান্তর উদাহরণ

উদাহরণ # 1

f(t) এর রূপান্তর খুঁজুন:

f (t) = 3t + 2t²

সমাধান:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

উদাহরণ #2

F(গুলি) এর বিপরীত রূপান্তর খুঁজুন:

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

সমাধান:

বিপরীত রূপান্তর খুঁজে পেতে, আমাদের s ডোমেন ফাংশনটিকে একটি সহজ ফর্মে পরিবর্তন করতে হবে:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

a এবং b খুঁজে পেতে, আমরা 2টি সমীকরণ পাই - একটি s সহগ এবং দ্বিতীয়টি বাকিগুলির মধ্যে:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

এখন এক্সপোনেন্ট ফাংশনের জন্য রূপান্তর টেবিল ব্যবহার করে F(গুলি) সহজেই রূপান্তরিত করা যেতে পারে:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t