ডেরিভেটিভ নিয়ম

ডেরিভেটিভ নিয়ম এবং আইন। ফাংশন টেবিলের ডেরিভেটিভস।

ডেরিভেটিভ সংজ্ঞা

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল Δx এর সাথে x+Δx এবং x বিন্দুতে ফাংশন মানের f(x) এর পার্থক্যের অনুপাত, যখন Δx অসীমভাবে ছোট হয়। ডেরিভেটিভ হল x বিন্দুতে স্পর্শক রেখার ফাংশন ঢাল বা ঢাল।

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয়:

অথবা সহজভাবে প্রথম ডেরিভেটিভটি বের করুন:

f''(x)=(f'(x))'

Nth ডেরিভেটিভ

n তম ডেরিভেটিভটি f(x) n বার বের করে গণনা করা হয়।

n তম ডেরিভেটিভটি (n-1) ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভের সমান:

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

উদাহরণ:

এর চতুর্থ ডেরিভেটিভ খুঁজুন

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]'''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

ফাংশনের গ্রাফে ডেরিভেটিভ

একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল স্পর্শক রেখার স্লপ।

ডেরিভেটিভ নিয়ম

ডেরিভেটিভ যোগ নিয়ম

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
ডেরিভেটিভ পণ্যের নিয়ম

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
ডেরিভেটিভ ভাগফল নিয়ম \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( এক্স)}
ডেরিভেটিভ চেইন নিয়ম

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

ডেরিভেটিভ যোগ নিয়ম

যখন a এবং b ধ্রুবক হয়।

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

উদাহরণ:

এর ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

3 x 2 + 4 x।

যোগফলের নিয়ম অনুযায়ী:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

ডেরিভেটিভ পণ্যের নিয়ম

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

ডেরিভেটিভ ভাগফল নিয়ম

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

ডেরিভেটিভ চেইন নিয়ম

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

এই নিয়মটি ল্যাগ্রেঞ্জের স্বরলিপি দিয়ে আরও ভালভাবে বোঝা যায়:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

ফাংশন রৈখিক অনুমান

ছোট Δx এর জন্য, আমরা f(x 0 +Δx) এর আনুমানিকতা পেতে পারি , যখন আমরা জানি f(x 0 ) এবং f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

ফাংশন টেবিলের ডেরিভেটিভস

ফাংশনের নাম ফাংশন অমৌলিক

f (x)

 f '( x )
ধ্রুবক

const

0
রৈখিক

x

1
শক্তি

x a

a x a-1
সূচকীয়

e x

e x
সূচকীয়

a x

a x ln a
প্রাকৃতিক লগারিদম

ln(x)

লগারিদম

logb(x)

সাইন

sin x

cos x
কোসাইন

cos x

-sin x
স্পর্শক

tan x

আর্কসিন

arcsin x

আর্কোসাইন

arccos x

আর্কটেনজেন্ট

arctan x
হাইপারবোলিক সাইন

sinh x

cosh x
হাইপারবোলিক কোসাইন

cosh x

sinh x
হাইপারবোলিক ট্যানজেন্ট

tanh x

বিপরীত হাইপারবোলিক সাইন

sinh-1 x

বিপরীত হাইপারবোলিক কোসাইন

cosh-1 x

বিপরীত হাইপারবোলিক ট্যানজেন্ট

tanh-1 x

ডেরিভেটিভ উদাহরণ

উদাহরণ # 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

উদাহরণ #2

f (x) = sin(3x2)

চেইন নিয়ম প্রয়োগ করার সময়:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা

যখন একটি ফাংশনের প্রথম ডেরিভেটিভ x 0 বিন্দুতে শূন্য হয় ।

f '(x0) = 0

তারপর x 0 , f''(x 0 ) বিন্দুতে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি সেই বিন্দুর ধরন নির্দেশ করতে পারে:

 

f ''(x0) > 0

 স্থানীয় সর্বনিম্ন

f ''(x0) < 0

 স্থানীয় সর্বোচ্চ

f ''(x0) = 0

 অনির্ধারিত

 

আরো দেখুন

Advertising

ক্যালকুলাস
°• CmtoInchesConvert.com •°