Transformasi Laplace mengubah fungsi domain waktu menjadi fungsi domain-s dengan integrasi dari nol hingga tak terbatas
dari fungsi domain waktu, dikalikan dengan e -st .
Transformasi Laplace digunakan untuk menemukan solusi persamaan diferensial dan integral dengan cepat.
Derivasi dalam domain waktu diubah menjadi perkalian oleh s dalam domain-s.
Integrasi dalam domain waktu diubah menjadi pembagian oleh s dalam domain-s.
Transformasi Laplace didefinisikan dengan operator L {}:
Transformasi invers Laplace dapat dihitung secara langsung.
Biasanya transformasi invers diberikan dari tabel transformasi.
Nama fungsi | Fungsi domain waktu | Transformasi Laplace |
---|---|---|
f (t) |
F(s) = L{f (t)} |
|
Konstan | 1 | |
Linier | t | |
Kekuasaan | t n |
|
Kekuasaan | t a |
Γ(a+1) ⋅ s -(a+1) |
Eksponen | e at |
|
Sinus | sin at |
|
Kosinus | cos at |
|
Sinus hiperbolik |
sinh at |
|
Kosinus hiperbolik |
cosh at |
|
Tumbuh sinus |
t sin at |
|
Tumbuh kosinus |
t cos at |
|
Sinus yang membusuk |
e -at sin ωt |
|
Kosinus yang membusuk |
e -at cos ωt |
|
fungsi delta |
δ(t) |
1 |
delta tertunda |
δ(t-a) |
e-as |
Nama properti | Fungsi domain waktu | Transformasi Laplace | Komentar |
---|---|---|---|
f (t) |
F(s) |
||
Linearitas | af ( t )+ bg ( t ) | aF ( s ) + bG ( s ) | a , b konstan |
Perubahan skala | f ( pada ) | a >0 | |
Menggeser | e -at f ( t ) | F ( s + a ) | |
Menunda | f ( ta ) | e - sebagai F ( s ) | |
Penurunan | sF ( s ) - f (0) | ||
Derivasi ke-N | s n f ( s ) - s n -1 f (0) - s n -2 f '(0)-...- f ( n -1) (0) | ||
Kekuasaan | t n f ( t ) | ||
Integrasi | |||
Timbal-balik | |||
Lilitan | f ( t ) * g ( t ) | F ( s ) ⋅ G ( s ) | * adalah operator konvolusi |
Fungsi periodik | f ( t ) = f ( t + T ) |
Temukan transformasi dari f(t):
f (t) = 3t + 2t2
Larutan:
ℒ{t} = 1/s2
ℒ{t2} = 2/s3
F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t2} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t2} = 3/s2 + 4/s3
Temukan transformasi kebalikan dari F(s):
F(s) = 3 / (s2 + s - 6)
Larutan:
Untuk menemukan transformasi invers, kita perlu mengubah fungsi domain s menjadi bentuk yang lebih sederhana:
F(s) = 3 / (s2 + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)
[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]
a(s+3) + b(s-2) = 3
Untuk menemukan a dan b, kita mendapatkan 2 persamaan - salah satu koefisien s dan yang kedua sisanya:
(a+b)s + 3a-2b = 3
a+b = 0 , 3a-2b = 3
a = 3/5 , b = -3/5
F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)
Sekarang F(s) dapat diubah dengan mudah menggunakan tabel transformasi untuk fungsi eksponen:
f (t) = (3/5)e2t - (3/5)e-3t
Advertising