Aturan turunan

Aturan dan hukum turunan. Tabel turunan fungsi.

Definisi turunan

Turunan suatu fungsi adalah perbandingan selisih nilai fungsi f(x) di titik x+Δx dan x dengan Δx, ketika Δx sangat kecil. Turunannya adalah fungsi slope atau kemiringan garis singgung di titik x.

 

f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Turunan kedua

Turunan kedua diberikan oleh:

Atau cukup turunkan turunan pertama:

f''(x)=(f'(x))'

Turunan ke-n

Turunan ke- n dihitung dengan menurunkan f(x) n kali.

Turunan ke- n sama dengan turunan dari turunan (n-1):

f (n)(x) = [f (n-1)(x)]'

Contoh:

Temukan turunan keempat dari

f ( x ) = 2 x 5

f (4) ( x ) = [2 x 5 ]'''' = [10 x 4 ]''' = [40 x 3 ]'' = [120 x 2 ]' = 240 x

Turunan pada grafik fungsi

Turunan suatu fungsi adalah kemiringan garis tangensial.

Aturan turunan

Aturan penjumlahan turunan

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
Aturan produk turunan

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
Aturan hasil bagi turunan \left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2( x)}
Aturan rantai turunan

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Aturan penjumlahan turunan

Jika a dan b adalah konstanta.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

Contoh:

Temukan turunan dari:

3x2 + 4x . _

Menurut aturan penjumlahan:

a = 3, b = 4

f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x

f ' ( x ) = 2 x , g' ( x ) = 1

(3 x 2 + 4 x )' = 3⋅2 x +4⋅1 = 6 x + 4

Aturan produk turunan

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

Aturan hasil bagi turunan

\left ( \frac{f(x)}{g(x)} \right )'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}

Aturan rantai turunan

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

Aturan ini dapat lebih dipahami dengan notasi Lagrange:

\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}

Fungsi perkiraan linier

Untuk Δx kecil, kita bisa mendapatkan perkiraan ke f(x 0 +Δx), ketika kita mengetahui f(x 0 ) dan f ' (x 0 ):

f (x0+Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)⋅Δx

Tabel turunan fungsi

Nama fungsi Fungsi Turunan

f (x)

 f '( x )
Konstan

const

0
Linier

x

1
Kekuasaan

x a

a x a-1
Eksponensial

e x

e x
Eksponensial

a x

a x ln a
Logaritma alami

ln(x)

Logaritma

logb(x)

Sinus

sin x

cos x
Kosinus

cos x

-sin x
Garis singgung

tan x

Arcsine

arcsin x

Arccosine

arccos x

Arctangen

arctan x
Sinus hiperbolik

sinh x

cosh x
Kosinus hiperbolik

cosh x

sinh x
Tangen hiperbolik

tanh x

Sinus hiperbolik terbalik

sinh-1 x

Kosinus hiperbolik terbalik

cosh-1 x

Tangen hiperbolik terbalik

tanh-1 x

Contoh turunan

Contoh 1

f (x) = x3+5x2+x+8

f ' (x) = 3x2+2⋅5x+1+0 = 3x2+10x+1

Contoh #2

f (x) = sin(3x2)

Saat menerapkan aturan rantai:

f ' (x) = cos(3x2) ⋅ [3x2]' = cos(3x2) ⋅ 6x

Tes turunan kedua

Jika turunan pertama suatu fungsi adalah nol di titik x 0 .

f '(x0) = 0

Maka turunan kedua di titik x 0 , f''(x 0 ), dapat menunjukkan jenis titik tersebut:

 

f ''(x0) > 0

 minimum lokal

f ''(x0) < 0

 maksimum lokal

f ''(x0) = 0

 yg tak dpt ditentukan

 

Lihat juga

Advertising

KALKULU
°• CmtoInchesConvert.com •°