تحويل لابلاس

وظيفة تحويل لابلاس
طاولة تحويل لابلاس
خصائص تحويل لابلاس
أمثلة تحويل لابلاس

تحويل لابلاس يحول دالة المجال الزمني إلى دالة المجال s بالتكامل من الصفر إلى اللانهاية

لدالة المجال الزمني ، مضروبة في e ^-st .

يتم استخدام تحويل لابلاس لإيجاد حلول سريعة للمعادلات التفاضلية والتكاملات.

يتحول الاشتقاق في المجال الزمني إلى الضرب في s في المجال s.

يتم تحويل التكامل في المجال الزمني إلى القسمة على s في المجال s.

وظيفة تحويل لابلاس

يتم تعريف تحويل لابلاس بالمعامل L {}:

$F(s)=\mathcal{L}\left \{ f(t)\right \}=\int_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

معكوس تحويل لابلاس

يمكن حساب تحويل لابلاس المعكوس مباشرة.

عادة ما يتم إعطاء التحويل العكسي من جدول التحويلات.

طاولة تحويل لابلاس

اسم وظيفة	وظيفة المجال الزمني	تحويل لابلاس
اسم وظيفة	f (t)	F(s) = L{f (t)}
ثابت	1	$\ frac {1} {s}$
خطي	ر	$\ frac {1} {s ^ 2}$
سلطة	tⁿ	$\ frac {n!} {s ^ {n + 1}}$
سلطة	t^a	Γ(a+1) ⋅ s ^-(a+1)
الأس	e^at	$\ frac {1} {sa}$
شرط	sin at	$\ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2}$
جيب التمام	cos at	$\ frac {s} {s ^ 2 + a ^ 2}$
الجيب الزائدي	sinh at	$\ frac {a} {s ^ 2-a ^ 2}$
جيب التمام الزائدي	cosh at	$\ frac {s} {s ^ 2-a ^ 2}$
تزايد الجيب	t sin at	$\ frac {2as} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
تزايد جيب التمام	t cos at	$\ frac {s ^ 2-a ^ 2} {(s ^ 2 + a ^ 2) ^ 2}$
الجيب المتحلل	e^-atsin ωt	$\ frac {\ omega} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
جيب التمام المتحلل	e^-atcos ωt	$\ frac {s + a} {\ left (s + a \ right) ^ 2 + \ omega ^ 2}$
دالة دلتا	δ(t)	1
دلتا متأخرة	δ(t-a)	e^-as

خصائص تحويل لابلاس

اسم الخاصية	وظيفة المجال الزمني	تحويل لابلاس	تعليق
	f (t)	F(s)
الخطية	af ( t ) + bg ( t )	aF ( ق ) + bG ( ق )	أ ، ب ثابتة
تغيير الحجم	و ( في )	$\ frac {1} {a} F \ left (\ frac {s} {a} \ right)$	أ > 0
تحول	e ^-at f ( t )	F ( s + a )
تأخير	و ( تا )	ه ^{- مثل} F ( ق )
الاشتقاق	$\ frac {df (t)} {dt}$	sF ( s ) - و (0)
الاشتقاق من العشر	$\ frac {d ^ nf (t)} {dt ^ n}$	ث ^ن و ( ث ) - ث ^{ن -1}و (0) - ث ^{ن -2}و '(0) -...- و ^{( ن -1)} (0)
سلطة	ر ^ن و ( ر )	$(-1) ^ n \ frac {d ^ nF (s)} {ds ^ n}$
الإدماج	$\ int_ {0} ^ {t} f (x) dx$	$\ frac {1} {s} و (ث)$
متبادل	$\ frac {1} {t} و (ر)$	$\ int_ {s} ^ {\ infty} F (x) dx$
التفاف	و ( ر ) * ز ( ر )	و ( ق ) ⋅ G ( ق )	* هو عامل الالتفاف
الوظيفة الدورية	و ( ر ) = و ( تي + تي )	$\ frac {1} {1-e ^ {- sT}} \ int_ {0} ^ {T} e ^ {- sx} f (x) dx$

أمثلة تحويل لابلاس

مثال 1

أوجد تحويل f (t):

f (t) = 3t + 2t²

حل:

ℒ{t} = 1/s²

ℒ{t²} = 2/s³

F(s) = ℒ{f (t)} = ℒ{3t + 2t²} = 3ℒ{t} + 2ℒ{t²} = 3/s² + 4/s³

المثال رقم 2

أوجد التحويل العكسي لـ F (s):

F(s) = 3 / (s² + s - 6)

حل:

لإيجاد التحويل العكسي ، نحتاج إلى تغيير دالة المجال s إلى صيغة أبسط:

F(s) = 3 / (s² + s - 6) = 3 / [(s-2)(s+3)] = a / (s-2) + b / (s+3)

[a(s+3) + b(s-2)] / [(s-2)(s+3)] = 3 / [(s-2)(s+3)]

a(s+3) + b(s-2) = 3

لإيجاد a و b ، نحصل على معادلتين - واحدة من معاملي s والثانية من الباقي:

(a+b)s + 3a-2b = 3

a+b = 0 , 3a-2b = 3

a = 3/5 , b = -3/5

F(s) = 3 / 5(s-2) - 3 / 5(s+3)

الآن يمكن تحويل F (s) بسهولة باستخدام جدول التحويلات لوظيفة الأس:

f (t) = (3/5)e^2t - (3/5)e^-3t