القواعد المشتقة

القواعد والقوانين المشتقة. جدول مشتقات الدوال.

• تعريف مشتق
• القواعد المشتقة
• جدول مشتقات الدوال
• أمثلة مشتقة

تعريف مشتق

مشتق الدالة هو نسبة الفرق في قيمة الدالة f (x) عند النقطتين x + Δx و x مع Δx ، عندما تكون Δx صغيرة للغاية. المشتق هو ميل الدالة أو ميل خط المماس عند النقطة x.

 

المشتق الثاني

يتم إعطاء المشتق الثاني بواسطة:

أو ببساطة اشتق المشتق الأول:

مشتق ن

يتم حساب المشتق n عن طريق اشتقاق f (x) n مرة.

المشتق n يساوي مشتق (n-1) المشتق:

f ⁽ⁿ⁾(x) = [f ^(n-1)(x)]'

مثال:

أوجد المشتق الرابع ل

و ( س ) = 2 × ⁵

f ⁽⁴⁾ ( x ) = [2 x ⁵ ] '' '' = [10 x ⁴ ] '' '= [40 x ³ ]' '= [120 x ² ]' = 240 x

المشتق على الرسم البياني للدالة

مشتق الدالة هو ميل الخط المماسي.

القواعد المشتقة

قاعدة المجموع المشتق	( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)
قاعدة المنتج المشتق	( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)
قاعدة حاصل القسمة المشتقة
قاعدة السلسلة المشتقة	f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

قاعدة المجموع المشتق

عندما يكون a و b ثوابت.

( a f (x) + bg(x) ) ' = a f ' (x) + bg' (x)

مثال:

أوجد مشتق من:

3 × ² + 4 ×.

حسب قاعدة المجموع:

أ = 3 ، ب = 4

و ( س ) = س ² ، ز ( س ) = س

و ' ( س ) = 2 س ، ز' ( س ) = 1

(3 × ² + 4 س ) '= 3⋅2 س + 4⋅1 = 6 س + 4

قاعدة المنتج المشتق

( f (x) ∙ g(x) ) ' = f ' (x) g(x) + f (x) g' (x)

قاعدة حاصل القسمة المشتقة

قاعدة السلسلة المشتقة

f ( g(x) ) ' = f ' ( g(x) ) ∙ g' (x)

يمكن فهم هذه القاعدة بشكل أفضل باستخدام تدوين لاغرانج:

التقريب الخطي للوظيفة

بالنسبة إلى Δx الصغير ، يمكننا الحصول على تقريب لـ f (x ₀ + Δx) ، عندما نعرف f (x ₀ ) و f '(x ₀ ):

f (x₀+Δx) ≈ f (x₀) + f '(x₀)⋅Δx

جدول مشتقات الدوال

اسم وظيفة	وظيفة	المشتق
	f (x)	و ( س )
ثابت	const	0
خطي	x	1
سلطة	x a	a x a-1
متسارع	e x	e x
متسارع	a x	a x ln a
اللوغاريتم الطبيعي	ln(x)
لوغاريتم	logb(x)
شرط	sin x	cos x
جيب التمام	cos x	-sin x
الظل	tan x
أركسين	arcsin x
أركوزين	arccos x
قوس ظل	arctan x
الجيب الزائدي	sinh x	cosh x
جيب التمام الزائدي	cosh x	sinh x
ظل زائدي	tanh x
الجيب الزائدي المعكوس	sinh-1 x
جيب التمام الزائدي المعكوس	cosh-1 x
الظل القطعي المعكوس	tanh-1 x

أمثلة مشتقة

مثال 1

f (x) = x³+5x²+x+8

f ' (x) = 3x²+2⋅5x+1+0 = 3x²+10x+1

المثال رقم 2

f (x) = sin(3x²)

عند تطبيق قاعدة السلسلة:

f ' (x) = cos(3x²) ⋅ [3x²]' = cos(3x²) ⋅ 6x

اختبار المشتق الثاني

عندما يكون المشتق الأول للدالة صفرًا عند النقطة x ₀ .

f '(x₀) = 0

ثم المشتق الثاني عند النقطة x ₀ ، f '(x ₀ ) ، يمكن أن يشير إلى نوع تلك النقطة:

 

f ''(x0) > 0	الحد الأدنى المحلي
f ''(x0) < 0	الحد الأقصى المحلي
f ''(x0) = 0	غير محدد

 

---

أنظر أيضا

• حساب التفاضل والتكامل
• تحويل لابلاس ( ℒ  )
• رموز التفاضل والتكامل